ارایه الگویی برای ارتقای توانمندی معلمان دوره ابتدایی، به منظور پرورش استدلال جبری و تفکر تابعی دانش‌آموزان

 

 

نویسندگان

نسیم اصغری

استادیار گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی دانشگاه آزاد اسلامی

چکیده

چکیده: این مطالعه، به بررسی فرآیند تغییر ادراک معلمان دوره ابتدایی پایه­های 3 تا 5 می­پردازد که در دوره رشد حرفه­ای «تفکر جبری، اساس ریاضیات ابتدایی» شرکت کردند. تفکر جبری به‌عنوان تفکر تابعی، اساس طراحی دوره و به‌کارگیری و تولید منابع در طول دوره بود. برای بررسی فرآیند تغییر و ارتقای معلمان، از مدل «پذیرش مبتنی بر دغدغه» (CBAM) به‌عنوان چارچوب نظری مطالعه، استفاده شد. این مدل‌، روشی برای اجرا و مدیریت و ارزیابی برنامه­های‌ نوآوری است که در این پژوهش، از یکی از ابزارهای آن به نام «پیمایش دغدغه­ها» جهت اجرا، مدیریت و ارزیابی کارآمدی این دوره آموزشی و تحلیل فرآیند تغییر معلمان، استفاده شد. این ابزار، توصیفی قدرتمند از میزان پویایی و درگیر شدن فرد را برای تغییر، فراهم می­کند. بدین سبب از آن، به‌عنوان وسیله‌ای برای رتبه‌بندی دغدغه‌های شرکت­کنندگان در سه بعد «خود»، «تکلیف» و «تأثیر» در هفت سطح آگاهی، اطلاعاتی، شخصی، مدیریت، پیامد، همکاری و تمرکز مجدد، استفاده شد. نتایج حاصل از به‌کارگیری مدل، تغییرات مؤثر در میزان آگاهی، مدیریت برنامه و تولید تکلیف­های مناسب برای تحقق اهداف برنامه در معلمان را نشان داد. تعدادی از معلمان تا سطح «تکلیف» و «تأثیر» از مراحل دغدغه، ارتقا یافتند. در ضمن، بر اثر کار با معلمان و با تکیه بر مفهوم­پردازی­های آنان، الگویی برای پرورش تفکر تابعی به دست آمد.

کلیدواژگان

کلیدواژگان: تابع؛ تفکر تابعی؛ دوره‌های رشد حرفه‌ای معلمان ابتدایی؛ CBAM؛ فرآیند تغییر

عنوان مقاله [English]

Developing a model to enhance elementary teachers’ ability to foster functional thinking and algebraic reasoning in elementary students

چکیده [English]

Abstract: This study explores the process of change of grades 3 to 5 elementary teachers, who participated in a professional development program "Algebraic Thinking: Foundation of Elementary Mathematics". Algebraic thinking as a functional thinking was the centerpiece of the program. The “Concern Base Adaptation Model” (CBAM) was used as methodology. The results of the study showed the significant changes in information, program management and task designing of teachers. Significantly, their understanding about functional thinking progressed. Finally a model was designed for integrating functional thinking in elementary mathematics curriculum as a result of this study.

کلیدواژگان [English]

Keyword: Function, Functional Thinking, Program of Professional Development of Elementary Teachers, CBAM, Change Process

اصل مقاله

مقدمه در سال‌های اخیر، جبر به کانون توجه آموزشگران و سیاست‌گذاران آموزشی تبدیل شده است، زیرا به گواهی پژوهش‌های انجام شده، برای بسیاری از دانش‌آموزان در سراسر دنیا، با شروع جبر، سختی ریاضی بیشتر شده و آغازی برای جدا شدن آن­ها از ریاضی می­شود. مشکلات عدیده‌ای که دانش­آموزان، طی سالیان متمادی در درس جبر تجربه کرده‌اند، باعث دل­زدگی و گریز آن‌ها از ریاضی و گاه ترک تحصیل شده است (کاپوت، 2000). از این رو، پرداختن به موضوع جبر در آموزش ریاضیِ مدرسه­ای، یکی از ضرورت­های پژوهشی حوزه آموزش ریاضی در این زمان است. پیشینه پژوهش پژوهش­های بین­المللی متعدد، حکایت از آن دارند که اکثر دانش­آموزان، قابلیت­های جبر را به‌خوبی نمی­شناسند و در موقعیت­هایی هم که چاره‌ای جز به‌کارگیری آن ندارند، اطلاع چندانی از مفاهیم زیر بنایی آن ندارند. برای مثال، نتایج ششمین ارزیابی ملی پیشرفت تحصیلی[1] که به‌وسیله‌ شورای ملی معلمان ریاضی آمریکا[2] منتشر شد، نشان می‌‌دهد که دانش­آموزان پایه‌ دوازدهم، در حل ساده‌ترین معادله‌ها و نامعادله‌ها و هم­چنین، در انتقال از بازنمایی شفاهی به نمادین، با مشکل مواجه هستند (کنی[3] و سیلور[4]، 1997.) درواقع، جبر در برنامه درسی دوره‌ متوسطه، در نقش یک «دروازه­بان» ظاهر شده است (کاپوت، 2002‌) و مسیر پیشرفت دانش­آموزان را مسدود یا منحرف کرده است؛ اما شکست حاصل، شکستی دوسویه است که در یک‌طرف، دانش­آموزان و در طرف دیگر، برنامه­های درسی کشورها قرار دارند. کاپوت (1998) این جبر را «موتور بی‌عدالتی» می­خواند و همگان را به تبدیل جبر به «موتور قدرت ریاضی» و «جبری کردن» برنامه‌ درسی از «پیش­دبستانی تا پایه 12[5]»، فرامی‌خواند. کاپوت (1995) معتقد است که یک برنامه‌ درسی جبری شده‌[6]، به دسترسی دموکراتیک دانش­آموزان به ایده­های قدرتمند، کمک می‌کند. از سوی دیگر، هدایت دانش­آموزان در درس جبر آسان نیست. فراخوان جبر برای همه، آموزشگران ریاضی را به باز‌بینی روش‌هایی که به یادگیری جبر کمک می­کند، تشویق می­کند و مشکلات دانش­آموزان را ناشی از نحوه‌ آموزش جبر می‌داند. طی ربعِ قرن گذشته، تلاش‌های زیادی در جهت شناخت موقعیت‌های یادگیری جبر، انجام شده است. نتیجه‌ این تلاش‌ها نشان می‌دهد که مسیر یادگیری جبر، از حساب می‌گذرد و شروع یادگیری جبر، همان نقطه‌ آغاز یادگیری حساب است. در طول تاریخ، تجربیات ریاضی دانش‌آموزان دوره‌ ابتدایی را حساب و محاسبات تشکیل داده است. درحالی‌که امروزه، مسلم شده است که لازمه‌ آماده­سازی دانش­آموزانِ دوره‌ ابتدایی برای ریاضیات پیچیده و عالی در سطوح بالاتر، به‌کارگیری انواع متفاوتی از تجربیات ریاضی است؛ تجربیاتی که عادت­های ذهنی را پرورش می‌دهند و معطوف به درک عمیقی از ساختارهای ریاضی هستند (کاپوت، 1999؛ رامبرگ[7] و کاپوت، 1999 و بلانتون و کاپوت، 2005). درواقع، آموزش سنتی و برنامه درسی که در دوره‌ ابتدایی مبتنی بر تدریس رویه‌‌هاست[8] و بعدها نیز که در دوره‌ راهنمایی[9]، رویکرد آموزش محاسبات و رویه‌ها ادامه می­یابد، به استناد عملکردهای دانش‌‌آموزان، ناموفق بوده است (بلانتون و کاپوت، 2005.) شلیمن[10]، کاراهر و بریزوئلا[11] (2006)، توضیح می‌دهند که دیدگاه متداول در مورد ارتباط حساب و جبر چنین بوده است که حساب و جبر، دو موضوع مجزا دیده می­شوند که با ترتیب معین اول حساب، بعد جبر، آموزش داده می­شوند. در مقابل، دیدگاه جدید، حساب را بخشی از جبر می­داند و معتقد است که استدلال جبری، از همان پایه­های ابتدایی باید آموزش داده شود (شکل 1.) شکل 1: دیدگاه جدید به ارتباط حساب و جبر (شلیمن، کاراهر و بریزوئلا، 2006) جاکوبس (2007) اظهار می‌کند که گزارش ­مشترک کارگروه جبر شورای ملی معلمان ریاضی در آمریکا و کمیته آموزشی علوم ریاضی[12] (1989) و گروه جبر پیش از موعد[13] (کاپوت، کاراهر و بلانتون،2008)، حاکی از آن‌اند که پژوهشگران، برای یافتن راه‌هایی برای یکپارچه کردن استدلال جبری در پایه­های پیش‌دانشگاهی، تلاش‌های زیادی انجام داده‌اند. از سوی دیگر، استفنس[14] (2008، به نقل از کارپنتر و همکاران، 2003؛ کاراهر[15] و همکاران، 2006 و بلانتون و کاپوت، 2005)، خاطر‌نشان می‌کند که در راستای تحقق هدف پرورش تفکر جبری در دانش‌آموزان، بیش از هر چیزی، نقش معلم در تشخیص فرصت‌ها، هم در طراحی تدریس و هم در عمل تدریس اهمیت دارد. به اعتقاد بسیاری از آموزشگران ریاضی، تحقق چنین هدفی بیش از هر چیز، نیازمند نگاه متفاوت و تغییر درک معلمان از جبر و موقعیت‌های جبر و به دنبال آن، تغییر عملکرد معلمان در کلاس‌های درس است (اصغری، شاهورانی و مدقالچی، 2013.) جبری­سازی برنامه درسی ریاضی، در گرو تغییر مؤثر در تدریس معلم است، این در حالی است که استامپ[16] و بیشاب[17] (2002) اظهار می­کنند که موانع جدی در این راه، وجود دارد. آن­ها معتقدند که یکی از بزرگ­ترین چالش­های پیشِ روی آموزشگران و معلمان ریاضی که درصدد اصلاح و بهبود آموزش ریاضی برآمده‌اند، کمک به معلمان ابتدایی و راهنمایی است تا توانایی­های استدلالی آنان در جبر، ارتقا یابد. استفنس (2008) یادآور می‌سازد که درواقع، باز مفهوم‌سازی[18] جبر، انتظار بالایی از معلمان ابتدائی است که برای آن، آموزشی هم ندیده­اند. بسیاری از معلمان ابتدایی، جبر را به‌صورت مجموعه‌ای از قواعد برای دست ورزی با متغیرها می­دانند و شکل­گیری دیدگاه­هایشان نسبت به جبر، مبتنی بر تجربیات آن‌ها در دوره‌ مدرسه‌­ای خودشان است. در همین راستا، جاکوبس (2007) بیان می‌کند که شواهد نظام­مند اندکی از تأثیر دوره‌های رشد حرفه‌ای معلمان در این خصوص، در دست است و همین، کمبودی جدی در مورد شناخت دانش جبری معلمان ابتدایی و تأثیر آن بر ایجاد مهارت­های استدلالی جبری در دانش‌آموزان آنان است که در این زمینه، انجام پژوهش­های متنوع، ضروری است. معرفی پژوهش هدف از مطالعه حاضر، آماده کردن معلمان دوره ابتدایی برای درک تفکر تابعی، از طریق طراحی فعالیت­های مناسب و مرتبط بود. این مطالعه، با استفاده از الگوی پیشنهادی جاکوبس و همکاران (2007)، به بررسی میزان تغییر در دغدغه[19] معلمان دوره ابتدایی، چگونگی تغییر فهم و درکشان و اندازه‌گیری سطوح دغدغه‌ آن‌ها درنتیجه شرکت در دوره‌ رشد حرفه‌ای، پرداخت. تفکر تابعی از دید‌گاه کاراهر و همکاران (2006)، تعمیم­سازی در قلب استدلال جبری است. آنان توضیح می­دهند که یک عمل حسابی، می­تواند به‌عنوان یک تابع­ دیده شود و بدین سبب، کار با یک عبارت جبری، زمینه­ساز ایجاد توانایی استدلال جبری، حتی در بین دانش­آموزان خردسال است. آن­ها خاطر نشان می‌سازند که دادن نقش اصلی به توابع در برنامه‌ درسی دوره ابتدایی، یکپارچه کردن جبر را در برنامه­های­ درسی ریاضی موجود، تسهیل می­کند و کلید این کار را، معرفی اعمال جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به‌عنوان تابع، از همان ابتدا می‌دانند. این در حالی است که قبلاً، بعضی از آموزشگران ریاضی، استدلال جبری را به‌صورت­های مختلف، بیان کرده‌اند. برای نمونه، کاپوت (1999) استدلال جبری را به‌صورت ترکیب پنج شکلِ از درون مرتبطِ استدلال، بیان نموده است: ü      جبر به‌عنوان تعمیم­سازی و صورت­بندی الگوها و قاعده­مندی­ها و به‌طور خاص، جبر به‌عنوان حساب تعمیم‌یافته؛ ü      جبر به‌عنوان دست ورزی‌های هدایت شده نحوی نمادها؛ ü      جبر به‌عنوان مطالعه‌ ساختارها و نظام­های مجرد محاسبات و روابط؛ ü      جبر به‌عنوان مطالعه‌ توابع، روابط و متغیرهای وابسته؛ ü      جبر به‌عنوان مدل­سازی. مفهوم تابع، اساس رابطه و انتقال است؛ طرح‌واره‌ای که نحوه‌ ارتباط، تغییر یا انتقال کمیت­های معین را به دیگر کمیت­ها نشان می‌دهد (چازان[20]، 1996). بدین سبب، کاپوت (2002) تفکر تابعی را، مسیر اصلیِ تفکر جبری می‌داند و معتقد است که توابع را می‌توان از طریق بازنمایی­های مختلف ازجمله نموداری، جدولی، نمودارهای پیکانی و کلامی و شفاهی، توصیف کرد. در همین راستا، اسمیت (2008) تفکر تابعی را نوعی تفکر بازنمایی می­داند که روی روابط بین دو یا چند کمیتِ متغیر، تمرکز دارد، به‌خصوص نوعی از تفکر که منجر به تعمیم‌سازی بعضی روابط خاص می‌شود. در تأیید این دیدگاه و ضرورت معرفی تفکر جبری در دوره ابتدایی، مالارا و ناوارا (2003)، توصیف شفاهی این بازنمایی‌ها را در دوره‌ ابتدایی، «منّ و مِنِّ جبری» می­نامند و وارن (2005)، آن را آمادگی برای استفاده‌ دقیق از زبان ریاضی در دوره‌ متوسطه می­داند. مدل پذیرش مبتنی بر دغدغه‌ مدل پذیرش مبتنی بر دغدغه‌[21] (CBAM)، چارچوب و روشی برای اندازه‌گیری، توصیف و تشریح وجوه مختلف برنامه‌ریزی درسی و نوآوری‌های آموزشی است (اندرسون، 1997). پنج فرضیه‌ زیربنایی این مدل، توسط هال و هرد (2001)، به شرح زیر، تبیین شده­اند: ü      فرضیه 1: تغییر یک فرآیند است نه یک اتفاق و تغییر در مؤسسات، نیازمند زمان است. ü      فرضیه 2: فرآیندِ تغییر، یک تجربه شخصی است و نحوه‌ درک آن به‌وسیله‌ افراد، به‌طورجدی نتایج را تحت تأثیر قرار می‌دهد. ü      فرضیه 3: نقش ادراکات و احساسات افراد برای عملکرد و اجرا‌ی موفق یک تغییر، اساسی است. ü      فرضیه 4: افراد، طی مراحلی بر اساس احساس، ادراک، توانایی و مهارتشان در استفاده از نوآوری، رشد می­کنند. ü      فرضیه 5: اقدامات برای تغییر، باید به‌طور نظام‌مند شروع شوند، به‌طور منظم ارزیابی گردند و به‌طور مستمر، مورد حمایت و پشتیبانی قرار گیرند. در این چارچوب، یکی از ابزارهای اندازه­گیری تغییر، پیمایش دغدغه­ها[22](SOC) است. این ابزار، بر پایه فرضیه­های 3 و 4 بالا استواراست و هدف آن، توصیف رشد و ارتقا‌ی احساسات، ادراکات و انگیزش‌های حاصل از تغییر برنامه درسی یا برنامه آموزشی است (هال و لوکس، 1978.) روش پژوهش این پژوهش از نوع توصیفی بود و هدف آن، توصیف تغییراتی بود که بر اثر آموزش تفکر تابعی، در احساس، ادراک، توانایی و مهارت معلمانی بود که در دوره ابتدایی، شاغل به تدریس بودند. علاوه بر آن توصیفات، میزان تغییرات به‌طور منظم ارزیابی گردید. شرکت­کنندگان در پژوهش  تعداد 15 نفر از معلمان پایه­های سوم، چهارم و پنجم دوره ابتدایی، به‌طور داوطلب، در برنامه رشد حرفه‌ای معلمان ابتدایی شرکت کردند. این معلمان، دانشجویان دوره کاردانی به کارشناسی رشته آموزش ابتدایی بودند و هیچ‌یک از آنان، در طول تحصیلات دانشگاهی خود، واحدهای درسی ریاضی را نگذرانده بودند و اغلب آن­ها، دیپلم علوم تجربی یا علوم انسانی داشتند. فرضیه‌ و سؤال پژوهش این پژوهش، مبتنی بر فرضیه زیر بود: فرضیه‌: دغدغه‌های معلمان نسبت به تفکر تابعی، درنتیجه‌ شرکت در برنامه‌ رشد حرفه‌ای «تفکر جبری، اساس ریاضیات ابتدایی: تفکر تابعی»، تغییر می‌یابد. هم­چنین، سؤال زیر، این پژوهش را هدایت کرد: سؤال پژوهش: میزان دغدغه‌ها‌ی معلمان نسبت به تفکر تابعی، درنتیجه‌ شرکت در برنامه‌ رشد حرفه‌ای «تفکر جبری، اساس ریاضیات ابتدایی: تفکر تابعی» چقدر است؟ برنامه رشد حرفه­ای معلمان به مدت شش ماه و در هر هفته، سه ساعت در کلاس‌های مربوط به این دوره حضور داشتند و در طول هفته، از طریق ایمیل، تلفن و وبلاگ، با پژوهشگر در تماس بودند و در صورت لزوم، جلساتی با چند نفر از آن‌ها، برگزار می‌شد. اجرای دوره ساختار برنامه رشد حرفه‌ای، بر پایه‌ چهار اصل زیر، شکل گرفت: مفهوم تفکر جبری و وجوه مختلف آن به‌عنوان یک روش تفکر؛ اهمیت حمایت مستمر و قدم‌به‌قدم، با توجه به این دیدگاه که تغییر یک فرآیند است نه یک اتفاق؛ تشکیل گروه‌های کوچک همکاری به‌منظور یادگیری فعال و بالا رفتن اعتمادبه‌نفس و کاهش اضطراب ریاضی، با توجه به این ایده که معلمان، می‌توانند فراگیران شگفت‌انگیزی باشند. به‌کارگیری مدل پذیرش مبتنی بر دغدغه ‌برای ارزیابی و هدایت بازخورد‌ها و سازوکارهای حمایت و پشتیبانی. در چهار هفته اول این دوره‌ آموزشی، تمرکز بر آموزش اصول کلی و فرآیندهای آموزش ریاضی در دوره ابتدایی و استانداردهای شورای ملی معلمان ریاضی (NCTM) برای جبر در پایه­های 3 تا 5 بود. در این استانداردها، بر آموزش درک الگوها و روابط و تابع، بازنمایی و تحلیل موقعیت­ها و ساختارهای ریاضی با به‌کارگیری نمادها، به‌کارگیری مدل­های ریاضی برای بازنمایی و درک روابط کمّی و تحلیل تغییر در زمینه­های مختلف، تأکید شده است. از این گذشته، در دوره رشد آموزش حرفه­ای، دیدگاه‌های مختلف تفکر جبری و به‌خصوص، مدل پنج­گانه کاپوت که در بالا به آن اشاره شد، به معلمان معرفی و جزییات ضروری آن­ها، تشریح شد. افزون بر این­ها، با هدایت مدرس/ پژوهشگر و همفکری شرکت­کنندگان، اصولی برای طراحی فعالیت­ها و مثال­های مرتبط با توسعه تفکر تابعی، تدوین شد که درنتیجه آن، فعالیت­های متنوعی توسط خودشان، تولید شد (پیوست الف). آنگاه از هفته پنجم، با استفاده از منابع تهیه شده، شرکت­کنندگان با مثال‌ها و فعالیت‌هایی آشنا شدند که به‌طور مشخص، هدفشان توسعه تفکر تابعی در معلمان دوره ابتدایی بود. ازجمله منابع استفاده شده، بخش­هایی از برنامه‌ درسی ایالت ویرجینیای آمریکا بود که بسیاری از فعالیت­ها و مثال­های آن، هم­جهت با اهداف این دوره آموزشی یعنی توسعه تفکر تابعی بود. علاوه بر این، برخی از مثال­های کتاب‌های درسی ریاضی پایه­های‌ اول تا پنجم ابتدایی ایران که هم‌راستا با اهداف این دوره بود، مورد استفاده قرار گرفتند. هم­چنین، برای درک بهتر تفکر تابعی و درک مفهوم تابع توسط معلمان و چگونگی آموزش آن به دانش‌آموزان، از بازنمایی ماشین تابع استفاده شد (شکل 2). این بازنمایی با مفهوم ورودی، خروجی و داشتن یک قاعده‌ (ضابطه‌ تابع)، کمک کرد تا مفهوم تابع، برای آن­ها ملموس و قابل‌درک شود و بدون استفاده‌ از تعریف ریاضیِ تابع و فقط با تأکید بر مفاهیم ورودی، خروجی و جدول­­های T شکل برای ثبت آن‌ها، تلاش ‌شد تا ضابطه هر تابعی که مورد بحث بود، مشخص شود. برای نمونه، در یکی از فعالیت­ها، ماشین تابع مانند کارخانه‌ای در نظر گرفته شد که روی ورودی‌ها، عمل مشخصی انجام می‌شد و از شرکت­کنندگان خواسته ­شد که ویژگی عملی را که این کارخانه بر روی ورودی­ها انجام می‌دهد، پیدا کنند. این فرآیند، به سه صورت زیر شکل گرفت و از آن طریق، آنان با مفهوم دامنه‌ تابع، برد تابع و ضابطه‌ تابع، آشنا شدند. ورودی و خروجی معلوم است، هدف پیدا کردن عمل ماشین تابع است. ورودی و عمل تابع معلوم است، هدف پیدا کردن خروجی است. عمل تابع و خروجی معلوم است، هدف پیدا کردن ورودی است. خروجی ورودی شکل 2: ماشین تابع و جدول ثبت نتایج بحث‌ها و تبادل‌نظرها بین پژوهشگر و شرکت­کنندگان و بین خودشان در گروه­های چهارنفری، طی جلسات حضوری و به‌صورت آنلاین، برگزار شد. این بحث­ها، یک مؤلفه مهم و تأثیرگذار، در فرآیند تغییر دغدغه­های شرکت­کنندگان نسبت به تفکر تابعی بود. ابزار پیمایش دغدغه­ها هال و هرد (2001) اظهار کرده‌اند که مدل پذیرش مبتنی بر دغدغه (CBAM)‌، روشی برای اجرا و مدیریت و ارزیابی برنامه­های‌ نوآوری است. لذا جهت اجرا، مدیریت و ارزیابی کارآمدی این دوره آموزشی و تحلیل فرآیند تغییر معلمان، از یکی از ابزارهای CBAM به نام پیمایش دغدغه­ها[23] (SOC)، استفاده شد (جدول 1 و پیوست ب). این ابزار، توصیفی قدرتمند از میزان پویایی درگیر شدن فرد را برای تغییر، فراهم می­کند و بر ادراکات و احساسات وی، تمرکز دارد (هال و هرد، 2001). این ابزار، وسیله‌ای برای رتبه‌بندی دغدغه‌های افراد در سه بعد خود، تکلیف و تأثیر است که این سه بعد، در هفت سطح آگاهی، اطلاعاتی، شخصی، مدیریت، پیامد، همکاری و تمرکز مجدد، قرار می­گیرند و به ترتیب، با کدهای 0 تا 6 در جدول (1)، مشخص شده‌اند. جدول (1): سطوح دغدغه معلمان ابعاد مرحله توصیف دغدغه تأثیر 6. تمرکز مجدد تمرکز بر بازبینی نوآوری جهت تأثیر هر چه بیشتر 5. همکاری تمرکز روی هماهنگی و همکاری با دیگران برای استفاده از نوآوری 4. پیامد تمرکز توجه به تأثیر نوآوری بر دانش­آموزان تکلیف 3. مدیریت تمرکز توجه بر تکالیف و فرایندهای مورد استفاده در نوآوری و صرف وقت برای تهیه‌ آن­ها خود 2. شخصی نگرانی در مورد خواسته­های نوآوری و تحلیل نقش نوآوری در حرفه‌ شخص 1. اطلاعاتی آگاهی عمومی و اظهار علاقه به یادگیری بیشتر 0. آگاهی عدم علاقه و درگیر شدن در نوآوری روش جمع­آوری داده‌ها به‌منظور تعیین سطوح دغدغه معلمان درنتیجه‌ شرکت در دوره، ‌از پرسش­نامه ‌SOC استفاده شد. این پرسش‌نامه شامل 35 سؤال است که به هر سطح دغدغه (0-آگاهی، 1-اطلاعاتی، 2-شخصی، 3-مدیریت، 4-پیامد، 5-همکاری، 6-تمرکز مجدد)، پنج سؤال اختصاص داده شده است. با جمع­ کردن امتیازات هر فرد و تعیین درصد امتیازات برای وی، سطح دغدغه‌ 15 معلم شرکت کننده، با توجه به جدول (1) و جدول­های مخصوص SOC، مشخص شد. علاوه بر این، برای این ارزیابی، از پرسش­نامه، چک­لیست مشاهده (تهیه‌شده توسط پژوهشگر) و مصاحبه­های نیمه ساختاری‌ برای تعیین سطح دغدغه ‌معلمان، استفاده شد. هر معلم، یک پرونده مخصوص به خود داشت که نتایج مشاهدات، مصاحبه‌ها و نتایج حاصل از اجرای پرسش­نامه­ها، به‌طور هفتگی و ماهانه، در آن­ها درج ‌می­شد. نتیجه اجرای پیمایش دغدغه­های شرکت­کنندگان، در اواسط دوره (فروردین) و در آخر دوره (تیر)، با استفاده از پرسش‌نامه، مورد ارزیابی قرار گرفت. در ماه­های میانی، با استفاده از مشاهدات و مصاحبه­ها و یادداشت در چک‌لیست‌های مربوط، سطوح تعیین شدند. هم­چنین، برای معلم­ها، کدهای م 1 تا م 15 انتخاب شد. یافته‌ها تجزیه و تحلیل داده­های حاصل از اجرای پیمایش دغدغه­ها (SOC) در طول شش ماه، نشان داد که در ماه اول، همه 15 معلم شرکت­کننده در پژوهش، در سطح صفر بودند. در ماه دوم، 11 نفر به سطح 1 یعنی اطلاعاتی رسیدند. از این بین، معلم م 4 به سطح (2) شخصی رسید و تنها سه نفر در سطح صفر ماندند. در ماه سوم، 10 معلم در سطح صفر یعنی شخصی بودند و معلم م 4 در سطح مدیریتی قرار داشت و کسی در سطح آگاهی نمانده بود. به همین صورت در ماه ششم، همه‌ آن‌ها در سطح 4 به بالا قرار گرفتند. شکل 3: جدول و نمودار سطوح معلمان در تفکر تابعی طی شش ماه شکل 3، جدول و نمودار سطوح معلمان را در دغدغه‌هایشان نسبت به تفکر تابعی در شش ماه متوالی نشان می­دهد. به‌طور مثال، از این نمودار معلوم می­شود که معلم م 2 در دو ماه اول در سطح صفر یعنی آگاهی قرار دارد، اما در ماه ششم، به سطح 4 یعنی پیامد رسیده است. شکل 4، فراوانی آزمودنی‌ها را در سطوح 0 تا 6 در ماه سوم (اواسط دوره) و ماه ششم (انتهای دوره‌) نشان می‌دهد. هم­چنین، در ماه سوم 10 نفر به سطح شخصی رسیدند که در ماه ششم، همه معلمان از این سطح عبور کرده و به سطوح بالاتر دست یافتند. در ماه ششم، همه معلمان، دست­کم، در سطح 3 یعنی مدیریت برنامه قرار دارند. شکل 4: فراوانی آزمودنی­ها در هر سطح در ماه­های سوم و ششم برای پاسخ به این سؤال که «آیا میانه‌ ماه ششم از صفر (میانه‌ ماه اول) بزرگ­تر است؟»، از آزمون نا پارامتری ویلکاکسون استفاده شد و فرض H0 و فرض H1 به‌صورت زیر، تدوین شدند. H0: SOC معلمان درنتیجه‌ آموزش تفکر تابعی تغییر نمی‌کند. (M6=M1) H1: SOC معلمان درنتیجه‌ آموزش تفکر تابعی، رشد می‌کند. (M1<M6) شکل 5: نمودار و جدول میانگین و میانه‌ SOC معلمان- تفکر تابعی شکل 5، نمودار و جدول میانگین و میانه‌ مربوط به SOC معلمان را در تفکر تابعی، نشان می‌دهد. با دقت در روند میانگین و میانه در ماه‌های دوم تا ششم، مشخص می‌شود که این مقادیر، روند افزایشی دارند و در ماه آخر، میانگین به 5 و میانه به 40/4 می‌رسد. جدول (2): جدول خروجی آزمون ناپارامتری ویلکاکسون – SOC، تفکر تابعی تعداد تعداد برای تست آزمون نا پارامتری ویلکاکسون P میانه‌ی فرضی ماه دوم 15 12 0/78 001/0 000/1 ماه سوم 15 15 0/120 000/0 000/2 ماه چهارم 15 15 0/120 000/0 000/2 ماه پنجم 15 15 0 /120 000/0 000/3 ماه ششم 15 15 0/120 000/0 000/4 از تجزیه و تحلیل[24] آزمون نا پارامتری ویلکاکسون معلوم شد که مقدار P در ماه‌های دوم تا ششم، کوچک­تر از 05/0 است 05/>0 (P، یعنی میانه از صفر بزرگ­تر است- جدول (2) و این بدین معنی است که روشی که برای آموزش تفکر تابعی استفاده شد، مؤثر بوده و فرضیه‌ پژوهش، تأیید شد. بحث و نتیجه­گیری و ارائه الگو مدت­ها قبل، کاپوت (1998) همگان را به جبری‌سازی برنامه‌ درسی ریاضیات مدرسه‌ای، فراخواند و متذکر شد که این هدف، تنها زمانی محقق می­شود که معلمان، حساب را به‌عنوان ابزاری برای ایجاد درکی شهودی از تعمیم و ساختارهای ریاضی به کار گیرند. در راستای تحقق این هدف، یک دوره آموزشی طراحی و توسط پژوهشگر اجرا شد تا شرکت­کنندگان، درکی شهودی و قابل‌لمس از تفکر جبری کسب کنند. طی اجر‌ا‌ی دوره، برای ارتقا‌ی توانمندی‌های آنان، ساختارهای حمایتیِ پیشنهادی مبتنی بر مدل پذیرش مبتنی بر دغدغه ‌(CBAM)، مورد استفاده قرار گرفت. در تلاش برای کدگذاری و مشخص کردن استدلال جبری در دوره‌ ابتدایی، الگویی تنظیم شد که برآمده از یک ماتریس تطبیقیِ تهیه شده توسط پژوهشگر بود. در این پژوهش، مفهوم­پردازیِ استدلال جبری در دوره‌ ابتدایی، کار با معلمان و فعالیت­ها و تکلیف­ها بر اساس این الگو، طراحی و اجرا شد و در هر بخش، تأکید بر تعمیم‌سازی و تأیید بود (شکل 6.) این پژوهش نشان داد که از زمانی که اجرای دوره‌ آموزشی شروع می‌شود، سیاست‌های آموزشی در اجرا، اهمیت می‌یابند. برای نمونه، ایجاد باورهای مثبت نسبت به برنامه‌ آموزشی، نقش اساسی در ترغیب فراگیران و ایجاد دغدغه در معلمان دارد. همچنان که تشریح کاربردها و فواید برنامه نیز، در ایجاد باورهای مثبت در آن­ها، مؤثر است. از سوی دیگر، باید موانع آموزشی نیز مرتفع گردند. علاوه بر این­ها، تشریح بدفهمی‌ها و آگاه کردن معلمان از نقاط مبهم و مشکل‌زا، مهارت­های فراشناختی[25]آنان را ارتقا خواهد داد. این مطالعه مؤید این است که در طول هر دوره آموزشی، لازم است به‌طور مستمر، به شرکت­کنندگان بازخورد داد تا از میزان پیشرفتشان آگاه شوند. به‌طورکلی، به استناد یافته­های این پژوهش، در طول یک دوره آموزشی، هفت نکته افزایش دانش، ایجاد باورهای مثبت، آموزش مهارت‌ها‌ی مرتبط با نوآوری، توضیح مرور اطلاعات، تشریح کاربردهای نوآوری و ارائه‌ بازخورد پس از به‌کارگیری نوآوری، اهمیت زیادی دارند. شکل 6: الگوی تفکر تابعی برای طراحی تکلیف یافته‌های این پژوهش‌، بسط دهنده و توسعه­دهنده پژوهش نیلسن[26] و تورنر[27] (1987) بود. در آن مطالعه، پژو‌هشگران مدل CBAM را مورد استفاده قرار دادند، اما تمرکز خود را تنها معطوف به نتیجه‌ تغییر کردند. در حالی که در پژوهش حاضر، با تمرکز بر فرآیند تغییر و فراهم آوردن شرایط حمایت از شرکت­کنندگان در طول دوره که همگی معلم دوره ابتدایی بودند، موجبات تغییر مؤثر آن‌ها را فراهم آورد. تقدیر و تشکر: نویسنده بر خود لازم می­داند که از آقای دکتر احمد شاهورانی سمنانی و آقای دکتر علیرضا مدقالچی که در انجام این پژوهش، راهنمای وی بودند، سپاسگزاری نماید. [1] National Assessment of Education Progress: NAEP [2] National Council of Teachers of Mathematics: NCTM [3] P.A. Kenney [4] E.A. Silver [5] K-12 [6] Algebrafied [7] Romberg [8] Procedure [9] در زمان انجام این مطالعه، هنوز دوره متوسطه اول، جایگزین دوره راهنمایی تحصیلی نشده بود. [10] Analucia D. Schliemann [11] Barbara M. Brizuela [12] Mathematical Sciences Education Board: MSEB [13] Early Algebra [14] Ana C. Stephens [15] David.W. Carraher [16] Stump [17] Bishop [18] Reconceptualization [19] Concern [20] Chazzan [21] Concern Base Adoptation Model [22] Survey of Concern: SOC [23] Survey of Concern: SOC [24] با استفاده از نرم­افزارSPSS نسخه 19، داده­ها تحلیل شدند. 1 Metacognition [26] Neilsen [27] Turner

مراجع

منابع Anderson, S. (1997). Understanding Teacher Change: Revisiting the Concerns Based Adoption Model. Curriculum Inquiry, 27(3), 331–367. Doi:10.1111/0362-6784.00057. Asghari, N. Shahvarani, A. & Medgalchi, A. R. (2013). Significant Process of Change for Elementary Teachers to Foster Functional Thinking. Mathematics Education Bulletin- BOLEMA, Brazil. Blanton, M. L. & Kaput, J. J. (2005). Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education. 36, No. x, 000-000. Carpenter, T.P. Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in the Elementary School. Portsmouth, NH: Heinmann. Carraher, D.W. Schliemann, A.D. Brizuella, B. M. & Ernest, D. (2006). Arithmetic and Algebra in Early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education, 37(2), 87-115. Chazan, D. (1996). Algebra for All Students. Journal of Mathematical Behavior.15(4), 455-477. Hall, G. & Hord, S. (2001). Implementing Change: Patterns, principles and potholes. Boston, MA: Allyn and Bacon. Jacobs, V.R. Franke, M. L. Carpenter, T. P. Levi,L. & Battey, D. (2007). Professional Development Focused on Children`s Algebraic Reasoning in Elementary School. Journal for Research in Mathematics Education, 38(3), 258-288. Kaput, J.J. (1998).Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by “algebrafying” the K–12 curriculum. In S. Fennell (Ed.), The nature and role of algebra in the K–14 curriculum: Proceedings of a national symposium (pp. 25–26). Washington, DC: National Research Council, National Academy Press. Kaput, J. (1999). Teaching and learning a new algebra. In E. Fennema & T. Romberg. (Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding (pp. 133–155). Mahwah, NJ: Erlbaum Kenney, P.A. & Silver, E.A. (1997). Results from the Sixth Mathematics Assessment of the National Assessment of Educational Progress. Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics. Malara, N. & Navarra, G. (2003). ArAl Project: Arithmetic Pathways towards Favoring Pre-Algebraic Thinking. Bologna, Italy: Pitagora Editrice. National Council of Teachers of Mathematics & Mathematics Sciences Education Board (Eds.), (1998). The Nature and Role of Algebra in the K-14 Curriculum. Proceedings of a National Symposium. Washington, DC: National Academy Press. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Schliemann, A. D. Carraher, D. W. & Brizuela, B. (2006). Bringing Out the Algebraic Character of Arithmetic: From Children’s Ideas to Classroom Practice. Studies in Mathematical Thinking and Learning Series. Lawrence Erlbaum Associates. Book contract. Stephens, A. C. (2008). What Counts as Algebra in the Eyes of Prospective Elementary Teachers? Journal of Mathematical Behavior. 27, 33-47 Warren, E. (2005). Patterns Supporting the Development of Early Algebraic thinking. In P. Clarkson; A. Downton; D. Gronn; M. Horne; A. McDonough; R. Pierce; & A. Roche. (Eds.), Building Connections: Theory, Research and Practice. Proceedings of the Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, MERGA-28. Vol. pp. 759–766. Melbourne: Mathematics Education Research Group of Australasia.