ویژگی‌های مسائل کلامی ریاضی دوره راهنمایی و راهکارهای تسهیل فرایند حل آن‌ها

 

مجید حق وردی (عضو هیئت علمی گروه ریاضی دانشگاه آزاد اسلامی) واحد اراک چکیده چکیده: این مطالعه ابتدا به معرفی ماهیت مسائل کلامی و فرایند حل آن­ها می‌پردازد سپس با مرور ادبیات پژوهشی در رابطه با مشکلات دانش­آموزان در حل مسائل کلامی، به بررسی ریشه اصلی این مشکلات در فهم ناقص مسائل به دلیل دشواری متن و وجود زمینه­های ناآشنا در مسائل کلامی دوره راهنمایی پرداخته است. در ادامه به اثربخشی انواع جمله‌بندی های مجدد زمینه‌ای، مفهومی و ترکیب آن‌ها بر تسهیل حل مسائل کلامی پرداخته است. لذا 80 دانش‌آموز پایه هفتم به‌صورت تصادفی به یکی از شرایط مذکور و یک گروه کنترل گمارده شدند. دانش­آموزان ابتدا به پیش‌آزمون سپس، به‌جز گروه کنترل، یکی از انواع آزمون‌های جمله‌بندی مجدد مسائل کلامی را پاسخ دادند. نتایج نشان داد که انواع تغییر جمله­بندی مسئله کلامی، حل مسئله را تسهیل می­کند. این یافته­ها می­تواند به مؤلفان کتاب­های درسی کمک کند تا به بازنگری و طراحی مجدد مسائل کلامی در کتاب­های درسی ریاضی پایه های ششم تا هشتم بپردازند.     کلیدواژگان کلیدواژگان: مسئله کلامی؛ حل مسئله؛ جمله‌بندی مجدد؛ دانش‌آموزان پایه دوم راهنمایی عنوان مقاله [English] The characteristics of mathematical word problems at the middle school and suggested strategies to facilitae their solution process چکیده [English] Abstract: This paper, first it has reviewed the literature on the characteristics of mathematical word problems and their solution process. The review revealed that among the root causes for students’ difficulties with mathematical word problems, two factors are salient, namely; the text complexity and the unfamiliar context. To shed more light on these findings, a factorial experimental study was designed with 80 grade 7 students from a school in middle class residents. These students were randomly put into the four groups of 20 each; two as experimental and two as control group. Four tests were administered as pre-tests and post- tests to compare the students regarding their problem solving skills with the intervention of two kinds of rewording; familiarization and personalization. The major finding of this study is that the rewording per se has meaningful effect on students’ understanding and solving of word problem.     کلیدواژگان [English] Keyword: Word problems, Solving problem, Rewording, grade 7 students اصل مقاله مقدمه مسائل کلامی، نوع خاصی از مسائل ریاضی است که به توصیف موقعیتی از دنیای واقعی می­پردازد. دانش­آموزان برای حل مسائل کلامی، نیاز به استفاده از عملگرهای ریاضی و داده­های موجود در متن مسئله دارند (لیو[1]، 1992). این مسائل، بخش مهمی از برنامه درسی ریاضی مدرسه­ای است که با هدف کاربرد مهارت­ها و دانش‌های رسمی ریاضی در موقعیت­های واقعی زندگی دانش­آموزان، ارائه می‌شود (دی­کورت و همکاران[2]، 1985). برای حل مسائل ریاضی، الگوهای مختلفی وجود دارد که به گفته مایر (1992)، معروف­ترین آن­ها، مربوط به دیویی است. وی توضیح می­دهد که در الگوی چهار مرحله‌ای پولیا، این مراحل اختصاصاً برای حل مسئله ریاضی دوباره­سازی شده است؛ اما چه در الگوی دیویی و چه در الگوی پولیا، فرایند حل مسئله را می­توان به دو بخش مرتبط اما جدا از هم یعنی «فهمیدن و جستجو» و «اجرا» تقسیم نمود (مایر[3]،1992). در مرحله‌ی فهمیدن مسئله، ابتدا برای حل کننده یک بازنمایی ذهنی از مسئله تولید می‌شود و سپس در مرحله جستجو راه‌حلی برای آن ارائه می‌گردد. اگرچه انتظار می‌رود ابتدا مرحله‌ی فهمیدن، سپس مرحله‌ی جستجو صورت گیرد، ولی اغلب هر دو فرایند باهم اتفاق می‌افتد. گام بعدی مرحله اجراست که مبتنی بر توانایی‌های محاسباتی دانش آموزان است. درهرحال، نتایج تحقیقات موجود، نمایانگر اهمیت مرحله فهمیدن و درک موقعیت مسئله است که خود، مستلزم پردازش شناختی داده­های موجود در متن مسئله است (مایر، 1998). مقاله حاضر قصد دارد به دسته­بندی انواع مسائل کلامی ریاضی و تحلیل فرایند حل آن­ها از طریق بررسی یافته­های تحقیقی در این حوزه، بپردازد. سپس با اشاره به تاثیر انواع جمله­بندی­های مجدد شامل زمینه­ای، مفهومی و ترکیب آن­ها، به بررسی مشکلات مسائل کلامی پرداخته و راهکارهایی برای تسهیل فرایند حل آن­ها ارائه می­دهد. 1. مسائل کلامی ریاضی مسائل کلامی در برنامه درسی ریاضی دوره راهنمایی، مانند دوره ابتدایی، به‌صورت گسترده­ای به‌کاررفته است. در تحقیقات مختلف، دسته­بندی­های خاصی از مسائل کلامی وجود دارد که در این مطالعه، به معرفی سه دسته مسائل کلامی حساب[4]، مسائل کلامی جبر[5] و مسائل کلامی هندسه[6] (وانگ و همکاران، 2007) پرداخته می­شود. مسائل کلامی حساب، به مسائلی گفته می­شود که مبتنی بر مسائل دنیای واقعی و ملموس دانش­آموزان مطرح می­شوند. برای حل این نوع مسائل، دانش­آموزان نیاز دارند که با استفاده از چهار عمل اصلی حساب، این مسائل را حل کنند. مثلاً «تام 8 مهره و بیل نیز 5 مهره دارد. بیل چند مهره­ کمتر از تام دارد؟» (نِشِر، 1982). درحالی‌که مسائل کلامی جبر، آن­هایی هستند که برای حلشان، دانش­آموزان، نیازمند استفاده از متغیرها و تشکیل معادله مناسب­اند، مانند این‌که «مجموع دو برابر عدد اولی و چهار برابر عدد دومی 126 است. مقدار عدد دوم را بیابید» (کالدول و گولدین،1987). بالاخره، مسائل کلامی هندسه، مبتنی بر مفاهیم هندسی هستند، مثل این‌که «طول باغ مستطیل شکلی، 10 متر از عرضش بیشتر است. اگر طول باغ 30 متر باشد، مساحت باغ را محاسبه کنید» (وانگ و همکاران، 2007.) بااین‌وجود، در اوایل دهه 1980، تمایز اساسی در تحقیقات مربوط به حل مسئله کلامی مشاهده شد. به‌طوری‌که در این مطالعات، مسائل کلامی ریاضی جمعی[7]، بر اساس موقعیت­های مطرح شده، به سه دسته مقایسه­ای[8]، تغییری[9] و ترکیبی[10] تقسیم شدند (کارپنتر و همکاران، 1983؛ دی­کورت و فرشافل، 1991؛ دی­کورت، 1985 و نِشِر، 1982). این موقعیت­ها شامل یک تغییر از بیان اولیه به بیان نهایی با به‌کارگیری یک تبدیل (مسئله تغییر)، ترکیب دو مجموعه مجزا و یا شکستن یک مجموعه به دو مجموعه مجزا (مسئله ترکیب) و مقایسه عددی دو مجموعه مجزا از اشیا (مسئله مقایسه) است. برای نمونه، در یک مسئله کلامی مقایسه­ای، رابطه ثابتی بین کمیت­ها وجود دارد، به‌طوری‌که این کمیت­ها با یکدیگر مقایسه می­شوند، مثل این‌که «مارتین 6 مداد خرید. ریتا نیز 2 مداد خرید. مارتین چند مداد بیشتر از ریتا خریده است؟» (هرشکوویتس و نِشِر،[11] 2003؛ باتیستا و همکاران[12]، 2009). درحالی‌که مسئله کلامی تغییر، توصیف عملی است که منجر به افزایش یا کاهش کمیت­ها در مسئله می­شود، مانند این‌که «جان 8 توپ داشت و چند تا از توپ‌ها را به پیتر داد. اکنون او 5 توپ دارد. جان چند توپ به پیتر داده است؟» (هرشکوویتس و نِشِر 2003؛ باتیستا و همکاران، 2009). بالاخره، مسائل کلامی ترکیبی، به اجتماع مجموعه­ها و زیر­مجموعه­ها می­پردازد، مثل این مسئله که «حمید 6 خودکار و حسن 4 خودکار دارد. آن­ها روی هم چند خودکار دارند؟» در همین راستا، تحقیقات متعددی، به مقایسه دشواری این سه نوع مسئله کلامی پرداخته­اند. برای مثال، استرن و لهرن دورفر[13] (1992) نشان داده­اند که دانش­آموزان، در حل مسائل کلامی مقایسه­ و تغییر، نسبت به مسائل کلامی ترکیب، دچار مشکلات بیشتری هستند. علاوه بر این، هگارتی و همکاران (1995) نیز، مسائل کلامیِ حساب را بر اساس ارتباط بین عمل مورد نیاز و کلمات کلیدی مسئله، به دو نوع مسئله کلامی سازگار[14] و مسئله کلامی ناسازگار[15] تقسیم کرده­اند. ازنظر آن­ها، مسائل کلامی سازگار، مسائلی هستند که کلمه کلیدی مطرح شده در مسئله، با عملی که بایستی انجام شود، هم­خوانی دارد. مثلاً اگر در مسئله، کلمه کلیدی کمتر آمده باشد، عمل مورد نیاز هم تفریق است. درصورتی‌که در مسائل کلامی ناسازگار، کلمه کلیدی مطرح‌شده در مسئله، با عملی که بایستی انجام شود، هم­خوانی ندارد. 1-1. فرایند حل مسائل کلامی مایر (1992، به نقل از برگر و وایلد، 1987)، از منظر روان­شناسی شناختی، دو فرایند «فهمیدن مسئله و تشکیل بازنمایی از متن مسئله و جستجوی فضای مسئله در حافظه» و «پیدا کردن راه‌حل» برای حل مسائل کلامی ریاضی را، شناسایی کرده است. مایر (1992) معتقد است که کار اصلی در حل مسائل کلامی، درک و فهمیدن مسئله است و به‌طورکلی، طراحی حل مسئله، از بازنمایی درست مسئله نشأت می‌گیرد. فرایند فهمیدن مسئله شامل ترجمه[16] و یکپارچه‌سازی[17] و فرایند راه‌حل، دربرگیرنده برنامه­ریزی و اجرا است.  در حقیقت ازنظر مایر (1992)، نخستین گام در حل مسائل کلامی که فهمیدن متن مسئله است، از طریق ترجمه و یکپارچه­سازی انجام می­شود. در قسمت فرایند ترجمه، لازم است مسئله از صورت واژه بیرون آمده و شکل یک بازنمایی درونی را به خود بگیرد؛ اما ترجمه واژه به واژه و عبارت به عبارت متن مسئله، یک بازنمایی پاره‌پاره[18] از ساختار معنایی متن به وجود می­آورد که در فرایند یکپارچه­سازی، به‌صورت یک ساختار منسجم فهمیده می­شود. وی دومین گام حل مسئله‌های کلامی را اجرای راه‌حل می­داند که با استفاده از الگوریتم­های ریاضی متناسب، برنامه­ریزی و اجرا شده و به یک پاسخ منجر می­شود و مناسب بودن آن به‌عنوان راه‌حل، مورد بررسی قرار می­گیرد. این فرایندها، با مدل حل مسئله پولیا، هم­خوانی قابل‌توجهی دارد. درهرصورت، نظر به ماهیت متفاوت هرکدام از فرایندها، دانش مفروض برای اجرای هر فرایند نیز متفاوت است. به همین دلیل، شناسایی دانش مورد نیاز برای حل مسائل کلامی ریاضی ضروری است. بدین سبب، حق­وردی، شاهورانی و سیفی (2012)، با استفاده از نظریه مایر، دانش­های مورد نیاز را برای حل مسائل کلامی ریاضی، به الف) دانش زبانی، ب) دانش ادراکی، ج) دانش ارتباطی و د) دانش الگوریتمی، طبقه­بندی نمودند که در زیر، به‌اجمال به هر یک، پرداخته می­شود. الف) دانش زبانی؛ دانشی است که با استفاده از آن، مسئله حل کن متن مسئله را می­خواند. فقدان این دانش در ابتدای حل مسئله، دانش‌آموز را از ادامه حل مسئله بازمی‌دارد. این در حالی است که قبل از این‌که دانش­آموزان بتوانند از مهارت­های ریاضی در حل مسائل کلامی استفاده کنند، نیاز به توانایی خواندن مسئله برای فهمیدن آن دارند. متن مسئله، ترکیب پیچیده‌ای از کلمات، اعداد، حروف، نمادها و برخی اشکال است (براسیلتون و دی­کر[19]، 1994). کینسچ (1988) بر این باور است که یکی از ناتوانایی­های دانش­آموزان در حل مسائل کلامی حساب، ناشی از ضعف دانش زبانی آن­هاست. درنتیجه، قابل‌انتظار است که اگر مسائل به زبان دوم یادگیرندگان بیان شده باشد، اهمیت دانش زبانی، بیشتر حس ­شود (برناردو[20]، 2002.) ب) دانش ادراکی[21]؛ دانش­هایی است که برای خواندن متن مسئله تا فهمیدن مسئله، لازم است و شامل دانش معنایی[22]، دانش شهودی[23] و دانش ساختاری[24] به شرح زیر است. - دانش معنایی، باعث فهمیده شدن متن مسئله می­شود و دانش­آموز، هدف مسئله را درمی‌یابد و مسئله را برای خودش تفسیر می­کند. برای فهمیدن متن­های بعضی از مسائل کلامی که موقعیت خاصی را توصیف می‌کنند، به اطلاعاتی از دنیای واقعی نیز نیاز هست تا مسئله حل­کن، بتواند با موقعیت بیان شده در مسئله، ارتباط برقرار کند و آن را بهتر درک کند. پالم (2002) به جنبه­هایی از موثق بودن[25] داده­های مسئله پرداخته و بیان کرده که داده­های مسئله، بایستی به‌صورت واقعی یا به مقادیر واقعی، خیلی نزدیک باشند. پالم (2008) در تحقیقِ دیگر خود، به این نتیجه رسید که توصیف کردن متن مسئله با جزییات بیشتر، موجب افزایش موفقیت دانش­آموزان در حل مسائل کلامی می­گردد. - دانش شهودی، دانشی است که بر اساس دانش رسمی و غیررسمی گذشته فرد، تجارب عینی، محیط و توانایی‌های او حاصل می‌شود، به‌طوری‌که این دانش در ایجاد بازنمایی مسئله، حائز اهمیت است. دانش­آموزان پس از خواندن مسئله، با به‌کارگیری شهودشان، به‌درستی یا نادرستی متن مسئله و پاسخ ارائه شده توسط خود می­پردازند. بعضی از دانش­آموزانی که این دانش را در حل مسائل کلامی در اختیار ندارند، اغلب فقط به محاسبات ریاضی می­پردازند­. مسئله زیر یکی از این نمونه­هاست: هر اتوبوس ظرفیت سوار شدن تعداد 30 مسافر را دارد. اگر 1128 مسافر، بخواهند سوار اتوبوس شوند، به چه تعداد اتوبوس نیاز است؟ کارپنتر و همکاران (1983)، نشان دادند که تقریباً %70 از دانش­آموزان 13 ساله، جواب 37 اتوبوس را مطرح کردند و باقیمانده دانش­آموزان، پاسخ 37.6 را به این مسئله دادند. برای حل این مسئله، اگرچه دانش­آموزان، دانش محاسباتی لازم را به کار گرفته بودند، ولی از دانش شهودی و عقل سلیم خود، برای بررسی معنادار بودن پاسخ، استفاده نکرده بودند. - دانش ساختاری، مربوط به طرح‌واره‌ها و ساختارهای معنایی و همه مفاهیم ریاضی است که در ذهن فرد وجود دارد. طرح‌واره، ساختاری از دانش است که به دانش­آموز کمک می­کند تا انواع مختلف دانش­ها را برای جستجوی راه‌حل مناسب، دسته­بندی کند (نشر و هرشکووتیس،1994). طرح‌واره‌ها و ساختارهایِ معنایی مفاهیم ریاضی، ممکن است به دانش­آموزان آموزش داده شود یا توسط خود آن­ها، ساخته شود تا با استفاده از این طرح‌واره‌ها و ساختارها، روش یا الگویی مناسب را برای حل، انتخاب کنند. مایر (1982) ادعا می­کند که مسئله حل­کن ها، مجموعه­ای از الگو­های ذهنی در اختیار دارند که اطلاعات موجود مسئله را با طرح‌واره‌های ذهنی خود پیوند می­دهند و بدین طریق، آن­ها را سازمان‌دهی می­کنند. نقشه­های مفهومی و طرح‌واره‌های ذهنی، درواقع الگوهایی هستند که دستیابی به راه‌حل مسئله را برای دانش­آموزان، آسان می­کنند (حق­وردی، 2011). در این دسته­بندی، دانش ساختاری شامل همه روش­ها و الگوها و راه‌حل­هایی است که از قبل، در ذهن دانش­آموز وجود داشته است. ج) دانش ارتباطی، باعث پیوند بین بازنمایی­های مسئله و مفاهیم و ساختارهای ریاضی می­شود. مسئله حل کن با استفاده از این دانش، می­تواند برای حل مسئله، طرح‌واره‌ای مناسب از مفاهیم ریاضی انتخاب کند. درواقع، مسئله حل­کن­ بعد از فهمیدن مسئله، به بررسی راه­هایی می­پردازد که از طریق آن­ها، موقعیت توصیف شده در مسئله را با مفاهیم و ساختارهای ریاضی مناسب، همگرا کند. این همان دانشی است که شونفیلد (1985) در بررسی حل مسئله، آن را دانش فراشناختی ­نامید و گارافالو و لستر (1982) از آن، به‌عنوان راهبردهای فراشناختی[26] استفاده نموده و بر اهمیت این دانش در حل مسائل کلامی، تأکید ورزیدند. ازنظر آن­ها، این راهبردها شامل طراحی یک رویکرد کلی برای حل مسئله، نظارت کردن بر پیشرفت حل مسئله و ارزیابی و بازبینی موضعی و کلی طرح­هاست. د) دانش الگوریتمی، نوعی دانش ریاضی است که مربوط به انجام محاسبات و اعمال جبری، مهارت­های رویه­ای و محاسبات الگوریتمی برای حل مسئله است. 1-2. مشکلات یادگیری مسائل کلامی ریاضی شناختمشکلات دانش­آموزان در حل مسائل کلامی، موردتوجه بسیاری از محققان آموزش ریاضی قرار گرفته است. مثلاً، مایر و هگارتی (1995) به طرح این سؤال پژوهشی پرداختند که «چرا بعضی از دانش­آموزان، می­توانند با موفقیت، جواب­هایی برای مسائل حسابی به دست آورند، درصورتی‌که نمی­توانند مسائل کلامی ریاضی را که نیازمند استفاده از همان محاسبات پایه­ای است، حل کنند». باتیستا و همکاران (2009) نشان دادند که دانش­آموزان پایه­های 6 تا 8 (معادل سه پایه دوره راهنمایی در ایران)، باوجود رشد مهارت­های زبانی، در فرایند درک و بازنمایی مسائل کلامی، با مشکلات فراوانی روبرو هستند. در این دوره، اگرچه دانش­آموزان برخلاف پایه­های قبلی، مشکلات کمتری در به‌کارگیری رویه­ها و مهارت­های حسابی دارند، اما از عهده حل مسائل کلامی ریاضی با رویه­های حسابی مشابه، برنمی‌آیند (مایر و هگارتی، 1996). به هر صورت، از بین عوامل مؤثر بر حل مسائل کلامی، نقش زبان بیشتر مورد بررسی قرار گرفته است (باتیستا و همکاران، 2009؛ دیویس- دورسی و همکاران، 1991؛ دی­کورت و همکاران، 1985). هم­چنین، حق وردی (1386) نشان داد که بیشتر ضعف دانش­آموزان در حل مسائل کلامی، ناشی از کمبود فهم کلامی و زمینه­ای است که مسئله در آن مطرح شده است. از این گذشته، مطالعه ادنر و پوتر1 (2008) و سیفی، حق وردی و عزیزمحمدی (2012)، نشان دادند که دشواری­های مطرح شده توسط معلمان در حل مسائل کلامی ریاضی دانش­آموزان، شامل بازنمایی و فهمیدن متن مسئله، ضعف دانش قبلی و واقعی نبودن مسائل است. درمجموع، بررسی ادبیات پژوهشی این حوزه نشان می­دهد که مهم­ترین دلایل دشواری حل مسائل کلامی ریاضی برای دانش­آموزان، دشواری متن مسئله، طراحی زمینه­های نامناسب در مسائل و استفاده از روش­ها یا استراتژی­های نامناسب است. به‌طور مثال، باتیستا (2009)، زبان و چگونگی بیان مسائل کلامی ریاضی را، یکی از عوامل تأثیرگذار بر حل مسائل کلامی معرفی می­کند. درحالی‌که دانبر (2005)، وجود اطلاعات اضافی را در متن مسائل کلامی، عاملی اثرگذار دانسته، علاوه بر این‌که یکی دیگر از دلایل ضعف دانش­آموزان را در حل مسائل کلامی، یادگیری استراتژی­های نامناسب از معلمان قبلی آنان می­داند. کو و سولیوان2 (2002) نیز به این نتیجه رسیدند که دانش­آموزان در دوره ابتدایی، یافتن کلمه کلیدی را می­آموزند، اما چون معمولاً به آن­ها، آموزشی درباره فهمیدن و شناختن مسائل کلامی ریاضی داده نمی­شود، اغلب آنان در پایه­های بالاتر، مسائل کلامی را صرفاً با استراتژی ترجمه مستقیم، حل می­کنند. 1-3. راهکارهای تسهیل فرایند حل مسائل کلامی با توجه به ماهیت مسائل کلامی ریاضی و اهمیت مرحله بازنمایی و فهمیدن مسئله برای دانش­آموزان در همه دوره‌های تحصیلی، شناخت و بررسی راهکارهای مؤثر بر حل آن­ها، ضروری است. در این حوزه، تحقیقات مختلفی به بررسی راهکارهای اثرگذار بر حل مسائل کلامی ریاضی دانش­آموزان پرداخته است. به استناد ادبیات پژوهشی این حوزه، می­توان راهکارهای تسهیل فرایند حل مسائل کلامی را در تحقیقات مختلف در دوره راهنمایی (پایه­های 6 تا 8)، به سه دسته زیر، تقسیم کرد: 1-3-1. تولید یا دوباره‌نویسی[27]مسائل کلامی توسط خود دانش­آموزان: یکی از راهکارهای تسهیل فرایند حل مسائل کلامی، طراحی یا صورت­بندی تازه از مسائل، توسط دانش­آموزان است، همان‌که سیلور (1994)، آن را به معنای تولید یک مسئله جدید از موقعیت یا صورت­بندی مجدد مسائل موجود می­داند. در طراحی یا صورت­بندی مسئله، دانش­آموزان موقعیتی را که با آن مواجه هستند، خودشان توصیف نموده و شروع به تولید مسئله جدید می­کنند که این کار، منجر به تسهیل فرایند حل مسئله کلامی ریاضی می­شود (سیلور و کای[28]، 1996.) 1-3-2. شناخت انواع اشتباهات دانش­آموزان در حل مسائل کلامی: دانش­آموزان در حل مسائل کلامی ریاضی، مرتکب انواع مختلفی از اشتباهات می­شوند. تحلیل اشتباهات دانش­آموزان در حل مسائل کلامی نیز، مانند بررسی توانایی آن­ها در آشکارسازی رفتار ذهنی دانش­آموزان برای فهمیدن و حل مسائل کلامی، باارزش به‌حساب می­آید. محققان بسیاری ازجمله برارز و لارکین[29] (1984)، دی­کورت و همکاران (1985)، کامینز و همکاران (1988) و لویس و مایر (1987)، اشتباهات دانش­آموزان را در حل مسائل کلامی، مورد بررسی قرار دادند. قبلاً هم نیومن[30] (1977) و کزی[31] (1978)، چارچوب‌هایی برای تحلیل اشتباهات ایجاد شده توسط دانش­آموزان در حل مسائل کلامی حساب، ابداع نموده بودند. در همین راستا، کنیفونگ و هولتان[32] (1976)، خطاهای انجام گرفته توسط دانش­آموزان را در حل مسائل کلامی، به دو نوع اشتباهات سهوی و محاسبه­ای و دیگر اشتباهات تقسیم کرده بودند. ازنظر آن­ها، اشتباهات سهوی و محاسبه­ای مربوط به اشتباهات محاسبه­ای با اعداد صحیح، کسرها و واحدهاست. درحالی‌که دیگر اشتباهات، شامل استفاده از عملگر اشتباه، بدون پاسخ و پاسخ‌های غلطی که هیچ راهنمایی به محقق نمی­دهد، است. به گفته دی­کورت و همکاران (1985)، شناخت این اشتباهات، منجر به تسهیل فرایند حل مسائل کلامی در دانش­آموزان می­شود. معلمان با این شناخت، می­توانند با ایجاد تمایز بین اشتباهات رخ‌داده توسط دانش­آموزان، ریشه­های آن اشتباهات را دقیق­تر بررسی نموده و در رفع آن­ها، بکوشند. 1-3-3. جمله­بندی مجدد مسئله: تأثیر تغییر جمله­بندی[33] مسئله، ازجمله مواردی است که توجه بسیاری از پژوهشگران را به‌عنوان عاملی برای ایجاد درک بهتر مسئله، به خود جلب نموده است. بعضی از مطالعات نشان داده است که می­توان با تغییرات مختصری در متن مسئله، فرایند حل مسئله را به‌طور چشمگیری تسهیل نمود (کامینز[34]، 1991). می­توان مطالعات انجام شده در جمله­بندی مجدد مسائل کلامی را به‌منظور تسهیل در فرایند حل، به دو دسته تقسیم کرد؛ دسته اول مطالعاتی است که تمرکز بر تغییر جمله­­بندی در زمینه توصیف شده در مسائل را دارند (استرن و همکاران، 1992؛ کامینز و همکاران، 1988؛ و استاب و ریوسر، 1995) و دسته دیگر، شامل مطالعاتی است که تمرکزشان بر تغییر جمله­­بندی در متن مسائل کلامی است (دی کورت و همکاران، 1985، کامینز، 1991، دیویس- دورسی و همکاران، 1991، اریک[35]، 2005؛ و ویسنته و همکاران، 2007.) تغییر جمله­بندی مسئله، به‌صورت­های مختلف طبقه‌بندی‌شده است، اما با توجه به مطالعات مرور شده، تغییر جمله­بندی در مفهوم مسئله و تغییر جمله­بندی در زمینه مسئله، بیش از موارد دیگر، موردتوجه و استفاده پژوهشگران قرار گرفته است. به گفته ویسنته و همکاران (2007)، در جمله­بندی مجدد مفهومی[36] مسئله، جملات به‌گونه‌ای تغییر می­کنند که روابط معنایی بین داده­های معلوم و مجهول، به‌صورت دقیق­تر و روشن­تری نسبت به حالت اولیه و بدون تغییر ساختار ریاضی، مطرح شوند. برای این نوع تغییر جمله­بندی، ممکن است جملاتی به مسئله افزوده شود و یا با تغییر ترتیب جملات، همراه باشد. در این شکل ازجمله­بندی مجدد، هر یک ازجمله­ها و عبارت­های مسئله، به‌صورت جداگانه­ای بررسی می­شوند و سعی می­گردد مواردی که به‌گونه‌ای مبهم، شرایطی از مسئله را توصیف می­کنند، با تفسیر بیشتری بیان شوند. مسئله کلامی زیر که توسط ویسنته و همکاران (2007) مطرح شده، مثالی از تغییر جمله­بندی مفهومی است. پیتر 37 متر کابل برق داشت. او A متر کابل اضافی خرید و B مترش را استفاده کرد و 11 متر کابل، باقی ماند. پیتر چند متر کابل خرید و استفاده کرد؟ ویسنته و همکاران (2007)، این مسئله را با تغییر جمله‌بندی مفهومی، به‌صورت زیر بیان کردند. پیتر 37 متر کابل برق داشت. او A متر دیگر هم کابل خرید و این مقدار کابل را، به کابلی که در اختیار داشت، افزود. او از کل این مقدار کابل،B متر آن را استفاده کرد و در پایان کار، 11 متر از کابل، باقی ماند. او چند متر کابل خرید و چند متر آن را استفاده نمود. آن­ها از طریق تغییر جمله­بندی مفهومی، کلمات و عباراتی به متن مسئله افزودند که با قلم برجسته مشخص شده و بدین طریق، روابط معنایی مسئله را روشن­تر نمودند. ازجمله مطالعات دیگری که در آن، از تغییر جمله­بندی مفهومی استفاده شده است، می­توان به تحقیقات کامینز (1991) و دی­کورت و همکاران (1985)، اشاره کرد. علاوه بر این، جمله­بندی مجدد زمینه‌ای[37]، با تغییر دادن زمینه مسئله، شکل می­گیرد. ازنظر کولم (1984)، «زمینه یک مسئله کلامی، محتوای غیر ریاضی ارائه شده در متن مسئله است» که برای مثال، داستان مطرح شده در متن یک مسئله کلامی، یک نوع زمینه برای مسئله محسوب می‌شود. از این گذشته، بعضی از مطالعات در تغییر زمینه مسئله، به تأثیر شخصی­سازی داده­ها، مثلاً وارد کردن نام دانش­آموزان و دیگر اطلاعات شخصی در متن مسئله، اشاره کرده­اند (رایت[38]، 1986؛ دیویس- دورسی و همکاران،1991؛ هارت[39]، 1996 و ویست[40]، 2002). برخی دیگر هم وارد کردن موضوعات گوناگون مورد علاقه دانش­آموزان را در مسائل ریاضی نظیر حیوانات و ورزش، مؤثر دانسته­اند (ویست، 2001). اضافه بر این، کالدول و گولدین[41] (1987)، طی مطالعات خود نشان دادند که برای دانش­آموزان پایه­های اول و دوم دبیرستان، حل مسائل ملموس و محسوس، آسان­تر از مسائل مجرد و حل مسائل واقعی، آسان­تر از مسائل فرضی است و به‌طورکلی، میزان انتزاعی بودن، بر عملکرد حل مسئله دانش­آموزان، تأثیر به سزایی دارد. هم­چنین، اگرچه برای تغییر زمینه مسئله کلامی، روش­های مختلف دیگری معرفی شده، اما روش تغییر زمینه بر اساس آشنا نمودن موقعیت توصیف شده در مسئله برای حل کننده، بیش از موارد دیگر مورد مطالعه قرار گرفته است (همبری[42]، 1992). مسئله­ یا زمینه، وقتی آشناست که موقعیت مطرح شده در آن، برای دانش­آموزان محسوس باشد، یعنی یا یک تصور ذهنی از موقعیت مورد نظر، برای آن­ها ایجاد شده باشد یا این‌که قبلاً، این موقعیت را تجربه کرده باشند و در غیر این صورت، موقعیت ناآشنا محسوب می­شود. هوانگ[43] (2004) نیز، مسئله‌ای را آشنا می­داند که در موقعیت­های مطرح شده در مسئله، از تجارب روزمره دانش­آموزان یا فعالیت­های مدرسه­ای آن­ها، استفاده شده باشد. مثلاً، مسئله کلامی زیر، ممکن است دارای یک موقعیت ناآشنا برای دانش­آموزان پایه هفتم در شهر اراک باشد. دمای شهر اراک 5 درجه سانتیگراد است. دمای تهران 10 درجه گرم­تر و دمای اردبیل 13 درجه از تهران سردتر است. دمای اردبیل چند درجه است؟ در چنین موقعیتی، می­توان با تغییر دادن موقعیت ناآشنای توصیف شده در مسئله به یک موقعیت آشنا، بدون تغییر در ساختار ریاضی مسئله، یک جمله­بندی مجدد زمینه­ای مانند زیر، انجام داد: علی 5 مهره دارد. حسن 10 مهره از علی بیشتر و رضا 13 مهره از حسن کمتر دارد. رضا چه تعداد مهره دارد؟ درک موقعیت داشتن تعدادی مهره برای دانش­آموزان پایه هفتم یک شهر، ممکن است ساده­تر از درک اختلاف دما در شهرهایی باشد که اوضاع آب و هوایشان برای آن دانش­آموزان، نا­آشناست. 2. معرفی پژوهش مطالعات قابل‌توجهی به بررسی تأثیر عوامل تاثیرگذار بر حل مسایل کلامی ریاضی پرداخته­اند. ازاین‌رو، با توجه به پیشینه مرور شده، هدف پژوهش حاضر، بررسی تاثیر انواع جمله بندی های مجدد زمینه ای، مفهومی و ترکیب آن ها بر تسهیل فرایند حل مسایل کلامی ریاضی است. لذا با توجه به هدف پژوهش، فرضیه زیر تبیین شده است: فرضیه تحقیق: اِعمال انواع جمله­بندی های مجدد(زمینه ای، مفهومی و ترکیب این دو) بر مسائل کلامی ریاضی، حل آن­ها را تسهیل می­بخشد. 2-1. روش پژوهش روش این پژوهش، از نوع آزمایشی عاملی[44] بود. در این نوع تحقیق، معمولاً اثر چند متغیر مستقل به‌طور انفرادی یا در تعامل با یکدیگر، بر روی یک متغیر وابسته، تعیین می­شود (گال، بورگ و گال، 1984). در این تحقیق، متغیر­های مستقل عبارت بودند از تغییر جمله­بندی­های زمینه­ای، مفهومی و ترکیب آن­ها (زمینه­ای- مفهومی) و متغیر وابسته، نمره کسب شده از حل مسئله کلامی ریاضی بود. 2-2. ابزار جمع­آوری داده­ها با توجه به متغیرهای مستقل، داده­های این پژوهش، از طریق چهار آزمون تشریحی ریاضی محقق ساخته، جمع­آوری شد. سه آزمون T و T و T در رابطه با سه متغیر مستقلِ تغییر جمله­بندی زمینه­ای، تغییر جمله­بندی مفهومی و ترکیب آن­ها و آزمون چهارم T به‌عنوان آزمون اولیه برای پیش­آزمون هر دو گروه­ و پس­آزمون گروه گواه، استفاده شد. 2-2-1. چگونگی تهیه آزمون­ها آزمون T متشکل از شش مسئله کلامی ریاضی دومرحله‌ای بود. برای آزمونT، مسائلی انتخاب شدند که دارای دو ویژگی اساسی بودند؛ اول این‌که موقعیت این مسائل برای آزمودنی­ها ناآشنا بود و دوم این‌که متن آن­ها، فاقد شرح اضافی درباره مفاهیم و روابط بود. برای تهیه آزمون T، ابتدا تمام مسائل کلامی کتاب درسی ریاضی پایه دوم راهنمایی فهرست گردید. سپس به روش دلفی[45]، (بر اساس توصیه­های فیش و بازبی[46]، 2005 و آدلر و زیگ لی یو[47]، 1996)، میزگردی با شرکت پنج معلم از سرگروه­های ریاضی شهری، از بین مسائل کلامی فهرست شده، شش موقعیت ناآشنا برای دانش­آموزان پایه دوم راهنمایی انتخاب شد، به این معنا که ازنظر آنان، درک موقعیت آن مسئله‌ها، برای دانش­آموزان دشوار بود. با استفاده از روش دلفی، اختلاف دمای بین شهرها، تفاوت سنی افراد، استخراج آب به کمک یک موتور آب، تغییر دمای یک مایع، مقایسه وزن کالاها و تولید محصولات در یک کارخانه، از بین زمینه­هایی که مسائل کلامی کتاب ریاضی پایه دوم راهنمایی در آن مطرح شده بود، تعیین گردید. آزمونT، بر مبنای متغیر مستقل تغییر جمله­بندی زمینه­ای ساخته شد. این آزمون ازنظر ساختاری، با آزمونT مشابه بود و تنها با تغییر دادن موقعیت­های توصیف شده در مسئله‌هایی که برای آزمونT انتخاب شده بودند، همگی به موقعیت­های آشنا تبدیل شدند. آزمون T با تغییر دادن ترتیب جملات و افزودن برخی جمله­ها به‌منظور روشن­تر شدن روابط معنایی در مسئله، تهیه شد. این آزمون بر اساس مطالعه دی­کورت و همکاران (1985) و ویسنته و همکاران (2007) طراحی شد و توسط پنج معلمی که اشاره شد، با تغییراتی تأیید گردید. آزمون T ترکیب این دو بود و با اِعمال هر دو نوع تغییر جمله­بندی زمینه­ای و جمله­بندی مفهومی تهیه شد. سپس با تغییراتی جزئی، مورد تأیید سرگروه­های ریاضی (پنج معلم شرکت­کننده در میزگرد)، قرار گرفت. 2-3. جامعه و نمونه با توجه به متغیر­های مستقل و وابسته و طرح پیشنهادی، چهار گروه از دانش­آموزان پایه دوم دوره راهنمایی، به‌صورت همگن و تصادفی با توجه به توضیحات زیر، انتخاب شدند. مبنای همگن­سازی، نتیجه امتحان ریاضی ورودی معلم ساخته، از آزمودنی­ها بود. آزمودنی­ها، 80 نفر از دانش­آموزان پسر پایه دوم راهنمایی یک مدرسه، به توصیه سازمان آموزش و پرورش آن شهر بود. انتخاب مدرسه از طرف آموزش و پرورش به‌عنوان نمونه مدارس پسرانه شهری که تحقیق در آن انجام شد، با این ویژگی انتخاب شد که دانش­آموزان آن، از وضعیت متوسطی برخوردار باشند و از دو طیف محروم یا کاملاً برخوردار نباشد. تعداد آزمودنی­ها در هر یک از این چهار گروه، 20 دانش­آموز بود که به‌صورت تصادفی، به یکی از گروه­های مستقل و گواه گمارده شدند. مراحل کار چنین بود که ابتدا، یک پیش­آزمون از 136 دانش­آموز این مدرسه گرفته شد. سپس تمام کسانی که در این آزمون، نمره متوسط بین 13 تا 15 کسب کردند و تعدادشان 80 نفر بود، به‌طور تصادفی به چهار دسته 20 تایی تقسیم شدند و آزمون­های T تاT، بر روی گروه­های آزمایش و گواه (کنترل)، انجام شد. 3. یافته­ها پس از تصحیح آزمون­ها، پاسخ­های دانش­آموزان کدگذاری شد. در کدگذاری پاسخ­های دانش­آموزان، اگر جواب نهایی مسئله صحیح بود، امتیاز (2)، اگر راه‌حل مسئله بدون جواب نهایی مطرح شده بود، امتیاز (1) و در غیر این صورت، امتیاز (0) منظور شد. نمرات کسب شده توسط آزمودنی­ها و میانگین چهار گروه، محاسبه گردید که نتایج در جدول (1) نمایش داده شده است. جدول (1): میانگین نمرات دانش­آموزان در حل مسائل کلامی در پیش­آزمون و پس­آزمون متغیرها زمینه­ای مفهومی ترکیب هر دو کنترل کل میانگین نمره حاصل در پیش­آزمون 8/4 35/4 65/4 45/4 56/4 میانگین نمره حاصل در پس­آزمون 15/9 80/8 60/9 80/4 08/8 N 20 20 20 20 80 در رابطه با فرضیه­­ تحقیق، پس از محاسبه اختلاف نمرات پیش­آزمون و پس­آزمون هر یک از شرکت­کنندگان در چهار گروه، آزمون آماری تحلیل واریانس یک‌طرفه انجام شد. هم­چنین، نتایج تحلیل واریانس برای انواع اختلاف نمرات دانش­آموزان در پیش­آزمون و پس­آزمون، در جدول (2)، ارائه‌شده است. همان‌طور که مشاهده می­شود، F محاسبه شده، از مقدار بحرانی جدول بیشتر است. ازاین‌رو، اِعمال انواع جمله­بندی­های مجدد زمینه­ای، مفهومی و ترکیب این دو، در تسهیل حل مسائل کلامی ریاضی به‌صورت معناداری مؤثرند. لذا موجب تسهیل حل مسائل کلامی می گردد.؛ بنابراین، فرضیه تحقیق تأیید می شود. جدول (2): تحلیل واریانس برای انواع اختلاف نمرات دانش­آموزان در پیش­آزمون و پس­آزمون منابع تغییرات df مجموع مربعات میانگین مربعات آماره F سطح معنی­داری جمله‌بندی مجدد 3 950/272 983/90 926/23 0001/0 خطا 76 00/289 803/3 کل 79 950/561 4. بحث و نتیجه‌گیری در این مطالعه، به بررسی تأثیر سه نوع تغییر جمله­بندی مفهومی، جمله­بندی زمینه­ای و ترکیب آن­ها، در تسهیل فرایند حل مسائل کلامی ریاضی پایه دوم راهنمایی پرداخته شد. در جمله­بندی مجدد مفهومی، مسئله به‌گونه‌ای جرح و تعدیل یافت که روابط معنایی بین داده­ها (معلوم­ها) و مجهول­های مسئله، به‌صورت دقیق­تر و روشن­تری نسبت به حالت اولیه و بدون تغییر ساختار ریاضی آن بیان شدند. درحالی‌که جمله­بندی مجدد زمینه­ای، با تغییر دادن زمینه مسئله شکل گرفت. برای تغییر دادن زمینه مسئله هم روش تغییر زمینه بر اساس آشنا نمودن موقعیت توصیف شده در مسئله برای دانش­آموزان، به کار گرفته شد. نتایج حاصل از تجزیه و تحلیل داده­ها نشان داد که به‌طورکلی، تغییر جمله­بندی مسائل کلامی ریاضی، بر تسهیل حل آن­ها مؤثر است. این تأثیر مثبت، در هر سه نوع تغییر اعمال‌شده یعنی تغییر جمله­بندی به سه روش زمینه­ای، مفهومی و ترکیب آن­ها، دیده شد. این نتایج با پیشینه تحقیقات مرور شده ازجمله دی­کورت و همکاران (1985)؛ دیویس- دورسی و همکاران، (1991)، کامینز (1991) و اریک (2005) هماهنگی دارد؛ اما چیزی که در این تحقیق برای اولین بار تجربه شد، تنوع تغییر در جمله­بندی مسائل کلامی ریاضی بود. تأثیر جمله­بندی مجدد متن مسئله، حتی بدون در نظر گرفتن نوع آن، برای دانش­آموزان مفید است. 5. جمع‌بندی باوجود اهمیت مهارت­های حل مسئله کلامی در ریاضی، تحقیقات این حوزه نشان می­دهد که بسیاری از دانش­آموزان، توانایی لازم را برای انجام آن، ندارند، زیرا برای حل مسائل کلامی، علاوه بر دانش ریاضی، به فهم زبانی و درک موقعیتی برای بازنمایی و درک موقعیت توصیف شده در مسئله، نیاز دارند. این مقاله، ضمن معرفی مسائل کلامی ریاضی، به استناد پژوهش­های انجام شد این حوزه، ریشه اصلی مشکلات دانش­آموزان را در بازنمایی و فهم ناقص مسائل کلامی، دشواری متن و وجود زمینه‌های نا­آشنا در این نوع مسائل دانسته و با مرور ادبیات پژوهشی مربوطه، راهکارهایی برای تسهیل فرایند حل آن­ها، ارائه نموده است که مهم­ترین آن­ها عبارتند از طراحی یا دوباره‌نویسی یک مسئله، شناخت انواع اشتباهات دانش آموزان و ایجاد فهم بهتر از طریق به‌کارگیری انواع جمله­بندی­های مجدد زمینه‌ای و مفهومی است. علاوه بر این، در این مقاله بحث شد که در جمله­بندی مجدد مفهومی، با اصلاح و بهبود ساختار متن مسئله، روابط معنایی، شفاف‌تر بیان می­شود که این مهم منجر به تسهیل حل مسئله می‌شود. هم­چنین، در جمله­بندی مجدد زمینه­ای، انتخاب زمینه­ای آشناتر برای مسئله، درک و حل مسئله را آسان­تر می­کند. با توجه به نتایج این بررسی­ها، به مؤلفان کتاب­های درسی ریاضی پیشنهاد می­شود که در طراحی و بازنگری مسائل کلامی، با انتخاب زمینه­های مناسب در هر پایه تحصیلی، تأثیر عوامل زمینه­ای را در حل مسائل کلامی، بیشتر موردتوجه قرار دهند. 1 Lave 2 De Cort and et al 3 Mayer 1 Arithmetic Word Problems 2 Algebra Word Problems 3 Geometry Word Problems 4 Additive Word Problems 5 Compare 6 Change 7 Combine 1 Hershkovitz and Nesher 2 Bautista et al. 3 Stern and Lehrndorfer [14] Consistent Word Problems [15] Inconsistent Word Problems [16]Translation [17] Integration [18] Fragmented Representation 1 Braselton & Decker 2 Bernardo 3 Comprehending Knowledge 4Semantic Knowledge 5 Intuitive Knowledge 6 Structural Knowledge 7 Authenticity 3 Metacognitive strategies 4 Mayer & Hegarty 1 Problem Posing 2 Silver and Cai برای توضیحات بیشتر درباره طرح مسائل کلامی، به مطالعه کای (1994) و سیلور و کای (1998)، مراجعه نمایید. [29] Briars and Larkin 4 Newman 5 Casey [32].Knifong & Holtan 4 Rewording 5 Cummins [35] Eric 4 Conceptual Rewording 1 Context Rewording 2 Wright 3 Hart 4 Wiest 5 Caldwell and Goldin 1 Hembree 2 Huang [44]Factorial Experiment [45] در روش دلفی، تعدادی از صاحب‌نظران از بین موارد مختلف، به غربالگری می­پردازند و چند مورد را که همگی نسبت به آن­ها اتفاق‌نظر دارند، انتخاب می­کنند. [46] Fish and Busby [47] Adler & Ziglio مراجع منابع حق­وردی، مجید. (1386). بررسی استراتژی‌های حل مسائل کلامی دانش­آموزان متوسطه. پایان‌نامه منتشرنشده کارشناسی ارشد آموزش ریاضی. دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه شهید بهشتی، تهران. گال، مردیت؛ بورگ، والتر، گال، جویس. (1985). 1382. روش­های تحقیق کمی و کیفی در علوم تربیتی و روان­شناسی. ترجمه احمدرضا نصر و همکاران (1382). انتشارات دانشگاه شهید بهشتی و انتشارات سمت. Adler, M. and Ziglio, E. (1996). Gazing into the oracle: The Dephi Method and its application to social policy and public health. Londan: Jessica Kingsley Publishers. Bautista, D. Mitchelmore, M. and Mulligan, J. (2009). Factors influencing Filipino children’s solutions to addition and subtraction word problems. Educational Psychology, 29(6), 729-745. Berger, D. and Wild, J. (1987). A task analysis of algebra word problems. In D. Berger and et al. (Eds.), Application of cognitive psychology: Problem Solving, Education and Computation. Lawrence Erlbaum Associates. Bernardo, A. B. I. (2002). Language and mathematical problem-solving among bilinguals. The Journal of Psychology, 136, 283-297. Braselton. S. and Decker. V. C. (1994). Using graphic organizers to improve the reading of mathematics. The Reading Teacher, 48, 276-281. Boaler, J. (1993). The role of contexts in the mathematics classroom: Do they make mathematics more real? For the Learning of Mathematics, 13(2), 12-17. Caldwell, J. H. and Goldin, G. A. (1987). Variable affecting word problem difficulty in secondary school. Journal for Research in Mathematics Education, 18(3), 187-196. NCTM. Carpenter, T. P. Lindquist, M. M. Brown, C. A. Kouba, V. L. Silver. E. A. and Swafford, J. O. (1988). Results of the fourth NAEP assessment of mathematics: Trends and conclusions. Arithmetic Teacher, 36 (4), 38-47. Cummins, D. D. (1991). Children’s interpretations of arithmetic word-problems. Cognition and Instruction, 8, 261-289. Dunber, C. A. (1995). Children''''s representations and solutions of subtraction word Problems: The effects of superfluous information in problem texts. Cognitive Psychology, 20, 405-438. Davis-Dorsey, J. Ross, S. M. and Morrison, G. R. (1991). The role of rewording and context personalization in the solving of mathematical word-problems. Journal of Educational Psychology. De Cort, E. Verschaffel, L. and De Win, L. (1985). Influence of rewording verbal problems on children’s problem representations and solutions. Journal of Educational Psychology, 77, 460-470. Ednes, K. and Potter, E. (2008). How students “unpack” the structure of a word problem: Graphic representations and problem solving. School Science and Mathematics, 108, 184-196. Eric, C. C. M. (2005). Language proficiency and rewording of semantic structures in P5 pupils'''' mathematical word problem solving. The Mathematics Educator, 9 (10), 84-99. Fish, L. S. and Busby, D. M. (2005). The Delphi Method. In D. H. Sprenkle and F. P. Piercy (Eds.), Research Methods in Family Therapy (2nd Ed.), pp. 238-253. New: Guilford. Hart, J. M. (1996). The effect of personalized word problems. Teaching Children Mathematics, 2, 504-505. Haghverdi, M. Shahvarani, A. and Seifi, M. (2011). The examining two approaches for facilitating the process of arithmetic word problem solving. International Journal for Studies in Mathematics Education.4(1), 135-148. Haghverdi, M. Shahvarani, A. and Seifi, M. (2012). The relationship between different kinds of students'''' errors and required knowledge for solving mathematics word problems. Bolema-Mathematics Education Bulletin, 26, 649-665. Haghverdi, M. (2011). Influence of using strategy concept maps in learning. Mathematics Scientific Journal, 6 (2), 29-37. Hembree, R. (1992). Experiments and relational studies in problem solving: A meta- analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 23, 242-273. Huang, H. E. (2004). The impact of context on children''''s performance in solving everyday mathematical problems with real-world settings. Journal of Research in Childhood Education, 18 (4), 278-291.  Kintsch, W. (1988). The role of knowledge it discourse comprehension: A construction-integration model. Psychological Review, 95, 163-182. Kinfong, D. and Holtan, B. (1976). An analysis of children''''s written solution to word problems.Journal of Research in Mathematics Education, 7, 106-121. Kulm, G. (1984). The classification of problem-solving research variables. In G. A. Goldin and C. E. McClintock (Eds.), Task variables in mathematical problem solving (pp. 1-21). Philadelphia: The Franklin Institute Press. Ku, H. Y. and Sullivan, H. J. (2002). Student performance and attitudes using personalized mathematics instruction. Educational Technology Research and Development, 50(1). 21-34. Lave, J. (1992). Word problem: A microcosm of theories of learning. In P. Light and G. Butter Worth. (Eds.), Context andcognition: Ways of learning and knowing, New York, Harvester Wheatsheaf. Lopez, C.L. and Sullivan, H.J. (1991). Effects of personalized math instruction for Hispanic students. Contemporary Educational Psychology, 16, 95-100. Mayer, R. E. and Hegarty, M. (1996). The process of understanding mathematical problems. In R. J. Sternberg and T. Ben-Zeev (Eds.), the nature of mathematicalthinking, Mahwah, NJ: Lawrence Elrbaum. (pp. 29-53). Mayer, R. E. (1988). Does the brain have a place in educational psychology? Educational psychology Review, 10, 389-396. Mayer, R. (1992). Teaching of thinking in the sciences and mathematics. In D. F. Halpern (Ed.), Enhancing thinking skills in the sciences and mathematics (pp. 95- 115). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associated. Nesher, P. (1982). Levels of description in the analysis of addition and subtraction word problems. Addition and subtraction: A cognitive perspective. Hillsadale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Newman, M. A. (1977). An analysis of sixth-grade pupils'''' errors on written mathematical tasks. Victorian Institute for Educational Research Bulletin. Pallm, T. (2008). Impact of authenticity on sense making in word problem solving. Educational studies in mathematics, 67, 37-58. Palm, T. (2002). The realism of mathematical school tasks features and consequences. Unpublished Doctoral dissertation, Department of Mathematics, Umea University, Sweden. Riley, M.S. Greeno, J. G. and Heller, J. I. (1983). Development of children’s problem- solving ability in arithmetic. In H. P. Ginsburg (Ed.), the development of mathematical thinking (pp. 153-196). Orland, FL: Academic Press. Silver, E. A. and Cai, J. (1996). An analysis of arithmetic problem posing by middle school students. Journal for Research in Mathematics Education. 27, 521-539. Silver, E. (1994). On mathematical problem solving. For The Learning of Mathematics, 14, 19-2. Staub, F. and Reusser, K. (1995). The role of presentational structures in understanding and solving mathematical word problems. In C. A. Weaver; IIII, S. Mannes; and C. Fletcher. (Eds). Discourse comprehension: Essays in honor of Walter Kintsch (pp. 285-305). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Seifi, M, Haghverdi, M, and Azizmohamadi, F. (2012). Recognition of students’ difficulties in solving mathematical word problems from the viewpoint of teachers. Journal of Basic and Applied Scientific Research. 2(3), 2923-2928. Stern, E. and Lehrndorfer, A. (1992). The role of situational context in solving word problems. Cognitive Development, 7, 259-268. Vicente, S. Orrantia, J. and Verschaffel, L. (2007). Influence of situational and conceptual rewording on word problem solving. British Journal of Educational Psychology, 77, 829-848. Wiest, L. (2001). The role of fantasy contexts in word problems. Mathematics Education Research Journal, 13(2), 74-90. Wiest, L. (2002). Aspect of word-problem context that influence children’s problem- solving performance. Focus on Learning Problems in Mathematics, 24(2), 38-52. Wright, J.P. and Wright, C.D. (1986). Personalized verbal problems: An application of the language experience approach. The Journal of Educational Research, 79, 358-362. Wong. W. K. Wu. S. W. Lee. C. W. and Hsu. W. H. (2007). LIMG: Learning- initiating instruction model based on cognitive knowledge for geometry word problem comprehension. Computers & Education. 48, 582-601